设集合A⊆R，如果实数x0满足：对∀r＞0，总∃x∈A，使得0＜|x-x0|＜r，则称x0为集合A的聚点．给定下列四个集合：①Z；②{x∈R|x≠0}；③{nn+1|n∈Z，n≥0}；④{1n|n∈Z，n≠0}．上述四个集合

Question

设集合A⊆R，如果实数x₀满足：对∀r＞0，总∃x∈A，使得0＜|x-x₀|＜r，则称x₀为集合A的聚点．给定下列四个集合：
①Z；  
②{x∈R|x≠0}；   
③{(n)/(n+1)|n∈Z，n≥0}；   
④{(1)/(n)|n∈Z，n≠0}．
上述四个集合中，以0为聚点的集合是（　　）

A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

Answer 1

①中，对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=(a)/(2)（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=(a)/(2)＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合{(n)/(n+1)|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大(1)/(2)，
∴在a＜(1)/(2)的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{(n)/(n+1)|n∈Z，n≥0}的聚点
④集合{(1)/(n)|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞(1)/(a)，使0＜|x|=(1)/(n)＜a
∴0是集合{(1)/(n)|n∈Z，n≠0}的聚点
故选D．