已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)和圆O：x2+y2=a2，F1（-1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为α(α∈(0，π2])的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，点

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)和圆O：x²+y²=a²，F₁（-1，0），F₂（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F₁且倾斜角为α(α∈(0，(π)/(2)])的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，
点A在轴上方）．当α＝(π)/(4)时，弦PQ的长为√(14)．
（1）求圆O和椭圆C的方程；
（2）若点M是椭圆C上一点，求当AF₂，BF₂，AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值．

Answer 1

（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，
由α＝(π)/(4)，c=1，可得OD=(√(2))/(2)，
∵弦PQ的长为√(14)，
∴OQ2＝(PQ2)/(4)+OD2=4，
∴a²=4，b²=3，
∴圆O的方程为x²+y²=4，椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1；
（2）设|AF₂|=s，|BF₂|=t，则
|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|BF₁|+|BF₂|=2a=4，
∵AF₂，BF₂，AB成等差数列，
∴2t=s+8-s-t，
∴t=(8)/(3)，
设B（x₀，y₀），则由

(x0−1)2+y02＝(64)/(9)

(x02)/(4)+(y02)/(3)＝1

，得B（-(4)/(3)，-

作业帮用户 2017-10-22

问题解析

（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的长为√(14)，求出OQ，可得a，b，即可求圆O和椭圆C的方程；
（2）设|AF₂|=s，|BF₂|=t，利用AF₂，BF₂，AB成等差数列，求出t，设B（x₀，y₀），则由

(x0−1)2+y02＝(64)/(9)

(x02)/(4)+(y02)/(3)＝1

，得B的坐标，可得PQ的方程，求出PQ，椭圆C上一点到直线PQ的距离的最大值，即可求△MPQ面积的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查圆和椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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