F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

Question

F₁，F₂是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线

Answer 1

由题意，延长F₂P，与F₁Q的延长线交于M点，连接QO，
∵MP是∠F₁MB的平分线，且PQ⊥MF₁
∴△F₁MP中，|PF₁|=|PM|且Q为MF₁的中点
由三角形中位线定理，得|OQ|=(1)/(2)|MF₂|=(1)/(2)（|MP|+|PF₂|）
∵由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，（2a是椭圆的长轴）
可得|MP|+|PF₂|=2a，
∴|OQ|=(1)/(2)（|MP|+|PF₂|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x²+y²=a²
∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．
故选A．