已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求

Question

已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
求 面积的最大值．

Answer 1

已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
求 面积的最大值．

（Ⅰ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，
所以 ，                                     ……………1分
又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ，       ………………2分
所以 ， .                                       ………………4分
所以 ，椭圆 的方程为 .                     ………………5分
（Ⅱ）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 .
由 得 ，           ………………6分
设 ， ，
因为 ，所以 ，                    ………………7分
同理可得 ，                                    ………………8分
所以 ， ，       ………………10分
，                     ………………12分
设 ，
则 ，                             ………………13分
当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .                             ………………14分
方法二：不妨设直线 的方程 .

作业帮用户 2017-11-16 举报

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