已知数列{an}的各项均为正数,且满足an+1=an+(二倍的根号下an)+1,a1=2.(1)求证:数列{根号下an}是等差数...已知数列{an}的各项均为正数,且满足an+1=an+(二倍的根号下an)+1,a1=2.(1)求证:数列{根号下an}是等

Question

已知数列{an}的各项均为正数,且满足an+1=an+(二倍的根号下an)+1,a1=2.(1)求证:数列{根号下an}是等差数...
已知数列{an}的各项均为正数,且满足an+1=an+(二倍的根号下an)+1,a1=2.(1)求证:数列{根号下an}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式

Answer 1

a(n＋1)=a(n)＋2√[a(n)]＋1
a(n＋1)=[√a(n)＋1]²
因为数列{an}都是正项,则：
√[a(n＋1)]=√[a(n)]＋1
即：
√[a(n＋1)]－√[a(n)]=1=常数
则数列{√[a(n)]}是以√a1=√2为首项、以d=1为公差的等差数列,则：
√[a(n)]=√2＋(n－1)d
√[a(n)]=√2＋n－1
两边平方,得：
a(n)=n²＋2(√2－1)n＋(3－2√2)