已知数列{an}满足a1=1/2,3(an+1-an)(an+1-an)=(1+an+1)(1-an+1),且(an+1)*an小于0,n属于正整数.1.求{an}的通项公式；2.若bn=an+1*2-an*2,试问数列{bn}中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列?若存在,求满足条件

Question

已知数列{an}满足a1=1/2,3(an+1-an)(an+1-an)=(1+an+1)(1-an+1),且(an+1)*an小于0,n属于正整数.
1.求{an}的通项公式；
2.若bn=an+1*2-an*2,试问数列{bn}中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列?若存在,求满足条件的等差数列；若不存在,说明理由

Answer 1

1、由a1=1/2＞0,a(n+1)*an＜0知道an正负交错,当n为偶数时an＜0,n为奇数时an＞0.
由3(an+1-an)(an+1-an)=(1+an+1)(1-an+1)整理得4[a(n+1)^2 - 1]=4(an^2 -1),所以数列{an^2 -1}是首项为-3/4,公比为3/4的等比数列,所以an^2=1-(3/4)^n,an＝(-1)^(n-1)×√[1-(3/4)^n].
2、bn=a(n+1)^2 - an^2＝1/4×(3/4)^n,则bn＞b(n+1)恒成立.
假设数列{bn}中存在三项bm,bn,bp(m＜n＜p)构成等差数列,则bm＞bn＞bp,所以只能有2bn＝bm＋bp成立,即2×1/4×(3/4)^n＝1/4×(3/4)^m＋1/4×(3/4)^p,即2×(3/4)^n＝(3/4)^m＋(3/4)^p,
两边同乘以4^p,得：2×3^n×4^(p-n)＝3^m×4^(p-m)＋3^p.
m,n,p都是正整数,且m＜n＜p,所以p-m＞0,p-n＞0,等式左边的2×s^n×4^(p-m)是偶数,右边的3^n×4^(p-m)＋3^p是奇数,所以等式不可能成立.所以数列{bn}中任意三项不可能构成等差数列.