已知等差数列{an}满足a1+a(2n-1)=2n设Sn是数列{1/an}的前n项和,记f(n)=S2n-Sn(n属于自然数)(1)求an(2)求f(n)的最小值(3)如果函数g(x)=log2x-12f(n)(x属于[a,b])对任意自然数n,其函数值都恒小于零,那么a,b应满足

Question

已知等差数列{an}满足 a1+a(2n-1)=2n设Sn是数列{1/an}的前n项和,记f(n)=S2n-Sn(n属于自然数)
(1)求an
(2)求f(n)的最小值
(3)如果函数g(x)=log2x-12f(n)(x属于[a,b])对任意自然数n,其函数值都恒小于零,那么a,b应满足什么条件

Answer 1

(1)令n=1则：a1+a(2n-1)=2n得：a1+a1=2(1)
当n=2时 a1+a3=4(2)由（1）（2）且an为等差数列得：
a1=1 a3=3 公差d=1
所以：an=n
(2)由an=n 得1/an=1/n
所以Sn=1/1+1/2+.+1/n则：
f(n)=S2n-Sn=1/(n+1) + 1/(n+2) +.+ 1/2n
f(n-1)=1/n + 1/(n+1)+.+1/(2n-2) （ n>=2时）
f(n)-f(n-1)=1/(2n-1) + 1/2n - 1/n=1/(2n-1) - 1/2n>0
所以f(n)>f(n-1)因此f(n)为单调递增数列
所以f(n)min=f(1)=1/2
(3)g(x)=log2x-12f(n)