一道高中数列题已知数列an的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,ana(n+1)＝λSn-1,其中λ为常数(1)证明a(n+2)-an=λ(2)是否存在λ,使得an为等差数列?并说明理由

Question

一道高中数列题
已知数列an的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,ana(n+1)＝λSn-1,其中λ为常数(1)证明a(n+2)-an=λ(2)是否存在λ,使得an为等差数列?并说明理由

Answer 1

证明：
1）数列An满足：A1=1,An≠0
因为：An*A(n+1)=λ*Sn -1
所以：A(n+2)*A(n+1)=λ*S(n+1) -1
两式相减：
[ A(n+2)- An ]*A(n+1)=λ* [ S(n+1)-Sn ]=λ* A(n+1)
因为：An≠0
所以：
A(n+2)- An=λ
2）
An为等差数列,则有：
2A(n+1) =A(n+2)+An
因为：A(n+2) -An=λ
所以：
A(n+2)=λ+An=2A(n+1)-An
所以：λ/2=A(n+1)-An
所以：d=λ/2
因为：
An*A(n+1)=λSn -1
n=1时,A1*A2=λA1-1,A2=λ-1
所以：d=λ/2=A2-A1=λ-1-1
所以：λ/2=2
解得：λ=4