求二元函数f（x，y）=x2（2+y2）+ylny的极值．

Question

求二元函数f（x，y）=x²（2+y²）+ylny的极值．

Answer 1

（1）由一阶导数=0联立，求解函数的所有驻点．
由 fx′(x，y)＝2x(2+y2)＝0，fy′(x，y)＝2x2y+lny+1＝0，可得
x＝0，y＝(1)/(e)．
（2）利用二元函数极值的判断定理，判断点 (0，(1)/(e)) 是否为极值点．
由于 f″xx＝2(2+y2)，f″yy＝2x2+(1)/(y)，f″xy＝4xy，
将 x＝0，y＝(1)/(e) 带入可得，

f″xx|(0，(1)/(e))＝2(2+(1)/(e2))

f″xy|(0，(1)/(e))＝0

f″yy|(0，(1)/(e))＝e

因为 f″_xx＞0 而(f″xy)2−f″xxf″yy＜0，故点 (0，(1)/(e)) 为函数的极小值点．
从而，二元函数存在极小值f(0，(1)/(e))＝−(1)/(e)