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已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)过(-4,0)的直线l与圆M相切,且l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.
题目详情
已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)过(-4,0)的直线l与圆M相切,且l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.
(1)求C的方程;
(2)过(-4,0)的直线l与圆M相切,且l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.
▼优质解答
答案和解析
(1)圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,
设动圆P半径为R.
∵M在N内,∴动圆只能在N内与N内切,不能是N在动圆内,即:R<3
动圆P与圆M外切,则PM=1+R,
动圆P与圆N内切,则PN=3-R,
∴PM+PN=4,即P到M和P到N的距离之和为定值.
∴P是以M、N为焦点的椭圆.
∵MN的中点为原点,故椭圆中心在原点,
∴2a=4,a=2,2c=MN=2,c=1,
∴b2=a2-c2=4-1=3,
∴C的方程为
+
=1(x≠-2);
(2)设l:y=k(x+4),A(x1,y1),B(x2,y2),
由l与圆M相切得
=1,∴k=±
,
k=
时,将y=
x+
代入椭圆,并整理得7x2+8x-8=0,
x1+x2=-
,x1x2=-
,
∴|AB|=
设动圆P半径为R.
∵M在N内,∴动圆只能在N内与N内切,不能是N在动圆内,即:R<3
动圆P与圆M外切,则PM=1+R,
动圆P与圆N内切,则PN=3-R,
∴PM+PN=4,即P到M和P到N的距离之和为定值.
∴P是以M、N为焦点的椭圆.
∵MN的中点为原点,故椭圆中心在原点,
∴2a=4,a=2,2c=MN=2,c=1,
∴b2=a2-c2=4-1=3,
∴C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)设l:y=k(x+4),A(x1,y1),B(x2,y2),
由l与圆M相切得
|3k| | ||
|
| ||
4 |
k=
| ||
4 |
| ||
4 |
2 |
x1+x2=-
8 |
7 |
8 |
7 |
∴|AB|=
作业帮用户
2017-11-14
![]() ![]() |
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