（示范高中）已知直线l过点M（-3，3），圆N：x2+y2+4y-21=0．（1）求截得圆N弦长最长时l的直线方程；（2）若直线l被圆N所截得的弦长为8，求直线l的方程．

Question

（示范高中）已知直线l过点M（-3，3），圆N：x²+y²+4y-21=0．
（1）求截得圆N弦长最长时l的直线方程；
（2）若直线l被圆N所截得的弦长为8，求直线l的方程．

Answer 1

（1）显然，当直线l通过圆心N时，被截得的弦长最长．（2分）
由x²+y²+4y-21=0化为标准方程为x²+（y+2）²=25，
可得：圆心N（0，-2），又M（-3，3），
故所求直线l的方程为：(x−0)/(−3−0)＝(y−(−2))/(3−(−2))，即5x+3y+6=0；（4分）
（2）设直线l与圆N交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（如图）

作ND⊥AB交直线l于点D，显然D为AB的中点．且有|BD|＝(|AB|)/(2)＝4，（6分）
（i）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-3，
将x=-3代入x²+y²+4y-21=0，得y²+4y-12=0，
解得：y=-6或2，
因此|AB|=|2-（-6）|=8符合题意；（8分）
（ii）若直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y-3=k（x+3）即：kx-y+3k+3=0
由x²+y²+4y-21=0，得N（0，-2），r=5，
因此|ND|＝√(r2−|BD|2)＝√(25−16)＝3，（10分）
又因为点N到直线l的距离|ND|＝(|−(−2)+3k+3|)/(√(1+k2))，
所以(|−(−2)+3k+3|)/(√(1+k2))＝3，解得：k＝−(8)/(15)，
此时直线l的方程为：8x+15y-21=0，
综上可知，直线l的方程为8x+15y-21=0或x=-3．（12分）