已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为

Question

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，
设动圆P半径为R．
∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3
动圆P与圆M外切，则PM=1+R，
动圆P与圆N内切，则PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．
∴P是以M、N为焦点的椭圆．
∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1（x≠2）；
（2）证明：联立

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝kx+m

，得（k²+3）x²+2kmx+m²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2＝−(2km)/(k2+3)，x1x2＝(m2−12)/(k2+3)，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•(m2−12)/(k2+3)+km•(−(2km)/(k2+3))+m2
=(3m2−12k2)/(k2+3)．
设右顶点S（2，0），
则

作业帮用户 2017-10-26

问题解析

（1）由给出的圆的方程判断两圆的位置关系，从而得到动圆P与圆M外切，与圆N内切，然后利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A、B横纵坐标的积，由以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点得

SA

•

SB

＝0，代入坐标后求出k与m的关系，从而证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

名师点评

本题考点：

轨迹方程；恒过定点的直线．

考点点评：

本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断向量的垂直，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，这样使解题过程简化，该题是高考试卷中的压轴题．

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