如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．动点P、Q分别从点D、B同时出发，点P以2cm/s的速度自点D沿DB方向作移动，点Q以1cm/s的速度自点B沿BC方向移动，设P、Q移动的时间为t秒（0＜t＜52）．（1）写出

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．动点P、Q分别从点D、B同时出发，点P以2cm/s的速度自点D沿DB方向作移动，点Q以1cm/s的速度自点B沿BC方向移动，设P、Q移动的时间为t秒（0＜t＜(5)/(2)）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（2）是否存在t值，使S_△PBQ=(1)/(3)S_△CPD．请你判断，并说明理由．

Answer 1

（1）作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，
∴∠PMB=∠PMC=∠PND=∠PNC=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴CD=3，AD=4．
∴在Rt△BCD中，由于勾股定理，得
BD=5．
∴sin∠DBC=(3)/(5)，cos∠BDC=(4)/(5)．
∵BQ=t，DP=2t，
∴PB=5-2t．
∴PM=(3)/(5)（5-2t）．PN=(8)/(5)t．
∵S=(1)/(2)BQ•PM=(1)/(2)t•(3)/(5)(5−2t)=-(3)/(5)t²+(3)/(2)t=-(3)/(5)（t-(5)/(4)）²+(15)/(16)（0＜t＜(5)/(2)）．
∴当t=(5)/(4)s时，S最大=(15)/(16)cm²．

（2）∵要使S_△PBQ=(1)/(3)S_△CPD，
∴-(3)/(5)t²+(3)/(2)t=(1)/(3)×(1)/(2)×3×(8)/(5)t，
∴6t²-7t=0
∴t₁=0，t₂=(7)/(6)．
∵0＜t＜(5)/(2)，
∴存在t值，当t=(7)/(6)s时，S_△PBQ=(1)/(3)S_△CPD．