已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得，若原点O在以MN为直径的

Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)依题意设出椭圆E的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点(1，)，待定系数法求出椭圆的方程．
(Ⅱ)把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再利用OM⊥ON及，
通过=0，解方程求出k的值．

(Ⅰ)依题意，可设椭圆E的方程为，
∵=，
∴a=2c.
∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆方程为.
∵椭圆经过点(1，)，
∴=1，
∴椭圆的方程为 ；
(Ⅱ)记A、B 两点坐标分别为A(x₁，x₂)，B (x₂，y₂)，
消去y，得 (4k²+3)x²-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴Δ=(16k)²-16(4k⁴+3)>0，
∴k²>，
由韦达定理 ，，
∵原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，
∴=0.
∵，M在OA上，N在OB上，
∴=0，又 =(x₁，y₁)，=(x₂，y₂)，
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁-2)(kx₂-2)
=(k²+1)x₁x₂-2k(x₁+x₂)+4=(k²+1)-2k+4=0．
∴k²=>，
∴k=±．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，一元二次方程根与系数的关系，以及两个向量坐标形式的运算．