如图，F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=32，S△DEF2＝1−32．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（x0a，y0b）称为点M的一个“椭点”．直

Question

如图，F₁，F₂为椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=(√(3))/(2)，S△DEF2＝1−(√(3))/(2)．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（(x0)/(a)，(y0)/(b)）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的离心率e=(√(3))/(2)，S△DEF2＝1−(√(3))/(2)，
∴(c)/(a)=(√(3))/(2)①，(1)/(2)（a-c）b=1-(√(3))/(2)②，又a²=b²+c²③．
由①②③组成方程组，解得a²=4，b²=1．
∴椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P((x1)/(2)，y1)，Q((x2)/(2)，y2)．
∵

OP

⊥

OQ

，∴

OP

•

OQ

=(x1x2)/(4)+y1y2＝0．（*）
设直线l的方程为my+t=x，联立

my+t＝x

x2+4y2＝4

，化为（4+m²）y²+2mty+t²-4=0，
∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，化为m²+4＞t²．（**）
∴y1+y2＝−(2mt)/(4+m2)，y1y2＝(t2−4)/(4+m2)，
∴x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2，
代入（*）可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2＝0．
∴t2−4−(2m2t2)/(4+m2)+t2＝0，
∴t2＝(4+m2)/(2)，代入（**）知成立．
|AB|=√((1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2])=√((1+m2)[(4m2t2)/((4+m2)2)−(4(t2−4))/(4+m2)])=(4√((1+m2)(4+m2−t2)))/(4+m2)．
点O到直线AB的距离d=(|t|)/(√(1+m2))．
又S_△AOB=(1)/(2)|AB|•d=2为定值．