假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明（1）1λ为A-1的特征值；（2）|A|λ为A的伴随矩阵A*的特征值．

Question

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明
（1）(1)/(λ)为A^-1的特征值；
（2）(|A|)/(λ)为A的伴随矩阵A^*的特征值．

Answer 1

证明：
（1）
假设α是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量，则：Aα=λα，
∵A^-1存在，
∴λ≠0，
于是：A^-1Aα=λA^-1α，即：A−1α＝(1)/(λ)α，
从而：(1)/(λ)为A^-1的特征值．

（2）
∵AA^*=A^*A=|A|E，
∴由Aα=λα得：
A^*Aα=λA^*α，
即：A*α＝(|A|)/(λ)α，
从而：(|A|)/(λ)为A的伴随矩阵A^*的特征值．