设A是3阶是对阵矩阵,特征值是2,2,3,属于特征值3的特征向量是a1=(111)^T.求矩阵A.设属于2的特征值为a2=(xyz)^T则（a1,a2)=x+y+z=0,所以x=-y-z.即属于特征值2的特征向量为a2=(1-10)^Ta3=(10-1)^T为什么

Question

设A是3阶是对阵矩阵,特征值是2,2,3,属于特征值3的特征向量是a1=(1 1 1 )^T.求矩阵A.
设属于2的特征值为a2=(x y z)^T 则（a1,a2)=x+y+z=0,所以x=-y-z.即属于特征值2的特征向量为a2=(1 -1 0)^T a3=(1 0 -1)^T 为什么x=-y-z 可以得出a2和a3?

Answer 1

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值2的特征向量(x,y,z) 与 属于特征值3的特征向量(1,1,1)正交.
即有 x+y+z=0
它的基础解系含 有2个线性无关的特征向量
而实对称矩阵可对角化,属于特征值2的线性无关的特征向量必有2个
所以 x+y+z=0 的基础解系即为属于特征值2的两个特征向量
y,z 分别取 -1,0 和0,-1 即得 a2,a3