（2013•惠州模拟）如图，已知动圆M过定点F（0，1）且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，动点F′的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）设A（x0，y0）是曲线C上的一个定点，过点A任意

Question

（2013•惠州模拟）如图，已知动圆M过定点F（0，1）且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，动点F′的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A（x₀，y₀）是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q，证明：直线PQ的斜率为定值．

Answer 1

（1）设动点F′（x，y），则
因为点F（0，1）在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F′，
所以M（(x)/(2)，(y+1)/(2)），…（1分）
且圆M的直径为|FF′|=√(x2+(y−1)2)．…（2分）
由题意，动圆M与x轴相切，
所以(|y+1|)/(2)＝(√(x2+(y−1)2))/(2)，
两边平方整理得：x²=4y，
所以曲线C的方程x²=4y．            …（6分）
（2）证明：因为A（x₀，y₀）是曲线C：x²=4y上的点，
所以y₀=(x02)/(4)，A（x0，(x02)/(4)）．
又点P、Q在曲线C：x²=4y上，
所以可设P（x₁，(x12)/(4)），Q（x₂，(x22)/(4)），…（7分）
而直线AP，AQ的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即((x12)/(4)−(x02)/(4))/(x1−x0)=-((x22)/(4)−(x02)/(4))/(x2−x0)，…（9分）
整理得x₁+x₂=-2x₀．…（10分）   
所以直线PQ的斜率k_PQ=((x22)/(4)−(x12)/(4))/(x2−x1)=(x1+x2)/(4)=-(x0)/(2)…（14分）为定值．…（14分）