已知等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，．（1）求等轴双曲线C的方程；（2）假设过点F且方向向量为的直线l交双曲线C于A、B两点

Question

已知等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点． 过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，．
（1）求等轴双曲线C的方程；
（2）假设过点F且方向向量为的直线l交双曲线C于A、B两点，求的值；
（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据P点为过F作一条渐近线的垂线FP的垂足，以及，可求出双曲线中c的值，借助双曲线中a，b，c的关系，得到双曲线方程．
（2）根据直线l的方向向量以及f点的坐标，可得直线l的方程，与双曲线方程联立，解出x₁+x₂，x₁x₂的值，代入中，即可求出的值．
（3）先假设存在定点P，使得为常数，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，解x₁+x₂，x₁x₂，用含k的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与k无关，求此时m的值即可．
【解析】
（1）设右焦点坐标为F（c，0），（c＞0），
∵双曲线为等轴双曲线，∴渐近线必为y=±x
由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且∠POF=．
∴△OPF为等腰直角三角形，则由||=⇒||=c=2
又∵等轴双曲线中，c²=2a²⇒a²=2
∴等轴双曲线C的方程为x²-y²=2
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为双曲线C与直线l的两个交点
∵F（2，0），直线l的方向向量为=（1，2），
∴直线l的方程为，即y=2（x-2）
代入双曲线C的方程，可得，x²-4（x-2）²=2⇒3x²-16x+18=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=6，
而=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-2）（x₂-2）=5x₁x₂-8（x₁+x₂）+16=
（3）假设存在定点P，使得为常数，
其中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为双曲线C与直线l的两个交点的坐标，
①当直线l与x轴不垂直是，设直线l的方程为y=k（x-2），
代入双曲线C的方程，可得（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
由题意可知，k=±1，则有x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（4k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=+4k²+m²
=+m²=+m²+2（1-2m）
要使是与k无关的常数，当且仅当m=1，此时，=-1
②当直线l与x轴垂直时，可得点M（2，），N（2，-）
若m=1，=-1亦为常数
综上可知，在x轴上是否存在定点P（1，0），使得=-1为常数．