如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，点E沿A→D方向移动，点F沿D→A方向移动，速度都是1cm/s．如果E、F两点同时移动，且当E、F两点相遇即停止．设移动时间是t（s）．（1）当BE与CF所在直线的夹

Question

如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，点E沿A→D方向移动，点F沿D→A方向移动，速度都是1cm/s．如果E、F两点同时移动，且当E、F两点相遇即停止．设移动时间是t（s）．
（1）当BE与CF所在直线的夹角是60°时，t是多少？
（2）当四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°时，t是多少？
（3）当△ABE的外接圆与△CDF的外接圆外切时，t是多少？

Answer 1

（1）当BE与CF所在直线的夹角是60°，如图1，
∵速度都是1cm/s．
∴BE=CF，
∴GE=GF，
∴∠AEB=∠GEF=∠EGF=∠GFE=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AE=AB÷tan∠AEB=2÷√(3)=(2)/(3)√(3)，
∴当t=(2)/(3)√(3)时，BE与CF所在直线的夹角是60°；
（2）如图2，四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°时，
∵BE=CF，
∴∠EBC=∠FCB
∴△EBC≌△FCB
∴∠BEC=∠CFB
∴△BEG∽△CFG
∴CG=BG，
∵∠BGC=90°，
∴∠FBC=∠ABF=45°，
∴AF=AB=2，DF=1
∵移动速度速度为1cm/s，
∴当t=1时，四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°．
（3）如图3，当△ABE的外接圆与△CDF的外接圆外切时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴两圆的直径分别为AE和CF，
∴BE=CF=√(22+t2)，
∵AE=DF=t，
∴EF=3-2t，
∴MN=（3-2t+3）÷2=3-t，
∴√(22+t2)=3-t，
解得：t=(5)/(6)，
∴当t=(5)/(6)时，△ABE的外接圆与△CDF的外接圆外切．