线性向量空间设n是大于2的整数,v1＝〔x1,x2,…,xn〕|x1,x2,…,xn属于R满足x1+x2+…＋xn＝1,v2＝〔x1,x2,…,xn〕|x1,x2,…,xn属于R满足x1+x2+…xn＝0.问v1和v2是不是向量空间,若是,则指出其维数,并

Question

线性向量空间
设n是大于2的整数,v1＝【〔x1,x2,…,xn〕|x1,x2,…,xn属于R满足x1+x2+…＋xn＝1】,v2＝【〔x1,x2,…,xn〕|x1,x2,…,xn属于R满足x1+x2+…xn＝0】.问v1和v2是不是向量空间,若是,则指出其维数,并给出一个基.

Answer 1

1）v1不是向量空间：
若a=(x1,x2,…,xn〕,b=(y1,y2,...,yn) ∈V1
则 a+b=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)∉V1 ,因为它的元素之和=2≠1,
2）v2是向量空间：
若a=(x1,x2,…,xn〕,b=(y1,y2,...,yn) ∈V2
则① a+b=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn),满足（x1+y1）+(x2+y2)+...+(xn+yn)=0,a+b∈V2
② 对任意常数λ,λa=〔λx1,λx2,…,λxn〕,满足λx1+λx2+…+λxn＝0 λa∈V2
基：e1=(1,-1,0,0,...,0)',e2=(1,0,-1,0,.,0),.,e(n-1)=(1,0,0,0,...,-1)
维数=n-1