设函数f（x）=exsinx-cosx，g（x）=xcosx-2ex（其中e是自然对数的底数），∀x1∈[0，π2]，∃x2∈[0，π2]，使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，则实数m的范围（）A.（-∞，-1-2]B.（-∞，eπ2-2]C

Question

设函数f（x）=e^xsinx-cosx，g（x）=xcosx-

√(2)e^x（其中e是自然对数的底数），∀x₁∈[0，(π)/(2)]，∃x₂∈[0，(π)/(2)]，使得不等式f（x₁）+g（x₂）≥m成立，则实数m的范围（　　）

A. （-∞，-1-

√(2)]

B. （-∞，e

(π)/(2)-√(2)]

C. （-∞，-1-

√(2)e(π)/(2)]

D. （-∞，（-1-

√(2)）e(π)/(2)]

Answer 1

∵f（x）=e^xsinx-cosx，
∴f′（x）=e^xsinx+e^xcosx+sinx，
∵x∈[0，(π)/(2)]，∴f′（x）>0，
∴函数f（x）在[0，(π)/(2)]上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=-1．
∵g（x）=xcosx-√(2)e^x，
∴g′（x）=cosx-xsinx-√(2)e^x，
∴x∈[0，(π)/(2)]，g″（x）=-sinx-sinx-xcosx-√(2)e^x<0
∴g′（x）≤g′（0）<0，
∴函数g（x）在[0，(π)/(2)]上单调递减，
∴g（x）_max=g（0）=-√(2)，
∵x₁∈[0，(π)/(2)]，∃x₂∈[0，(π)/(2)]，使得不等式f（x₁）+g（x₂）≥m成立，
∴m≤-1-√(2)．
故选：A．