求一高数题证明设f(x)∈C（2）（-1,1）,且f"(x)≠0,试证（1）对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf(θ(x)x)（2）limx->0θ(x)=1/2

Question

求一高数题证明
设f(x)∈C（2）（-1,1）,且f"(x)≠0,试证
（1）对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf(θ(x)x)
（2）limx->0θ(x)=1/2

Answer 1

证明：
（1）在[0,x]或[x,0]上用拉格朗日中值定理有f(x)-f(0)=xf’(θ(x)x)★,θ(x)∈(0,1).
因为f’’(x)连续,并且f’’(x) ≠0,所以f’’(x)不变号,
不妨设f’’(x)>0,则f’(x)严格单增,故θ(x)唯一.
（2）用泰勒公式可有f(x)=f(0)+f’(0)x+0.5f’’(ξ)xx,ξ在0与x之间,
即f(x)-f(0)=f’(0)x+0.5f’’(ξ)xx▲,
由★和▲可得f’(θ(x)x)=f’(0)+0.5f’’(ξ)x,
则θ(x)*【f’(θ(x)x)-f’(0)】/【θ(x)x】=0.5f’’(ξ),
θ(x)=【0.5f’’(ξ)】/{【f’(θ(x)x)-f’(0)】/【θ(x)x】},
注意当x→0时,上式右边的分子趋于0.5f’’(0),
上式右边的分母的极限是f’’(0),
于是上式左边的极限lim（x→0）θ(x)=0.5. 证毕.