F(x)在[0,1]上二阶可导，且limx->0f(x)/x=1,limx->1f(x)/x-1=2证明：1）存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0有一段即f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0（这是一个常用结论）

Question

F(x)在[0,1]上二阶可导，且limx->0 f(x)/x=1 ,limx->1 f(x)/x-1=2 证明：1）存在ζ∈（0,1）
使f(ζ)=0
有一段
即f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0
（这是一个常用结论）
请问是什么结论
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∫ ln(1+x^2)dx=ln2-2(1-4/π) 这个是怎样算的？
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洛必达法则
Limf’(x)/g’(x)存在 Limf’(x)/g’(x)=A 所以 Limf(x)/g(x)=A
但不能简单的Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A。
我见有些题。Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A。可以这样用。
有些题。这样用会被说是错的。请问为什么啊？

Answer 1

既然有答案原题我就不做了,直接说你问的吧：
即f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0
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因为f(x)在[0,1]上连续可微,f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)=f'(0)x+o(x)
f(1-x)=f(1)-f'(1)(1-x)+o(x)=-f'(1)(1-x)+o(x) (x->0)
于是f(x)*f(1-x)=-x(1-x)f'(0)f'(1)+o(x)0）
于是存在ζ∈（x,1-x）属于(0,1)使得f(ζ)=0
这是因为Limf’(x)/g’(x)不一定存在
比如f(x)=x+1,g(x)=x^2+1,则
Lim(x->0)f(x)/g(x)=1但是Lim(x->0)f'(x)/g'(x)=∞
如果Limf’(x)/g’(x)存在那么Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A
有些题直接用了可能是因为Limf’(x)/g’(x)的存在性比较显然.