不定积分题和其他题.F(x)在[0,1]上二阶可导,且limx->0f(x)/x=1,limx->1f(x)/x-1=2证明：1）存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0中.有一段即f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0（

Question

不定积分题和其他题.
F(x)在[0,1]上二阶可导,且limx->0 f(x)/x=1 ,limx->1 f(x)/x-1=2 证明：1）存在ζ∈（0,1）
使f(ζ)=0
中.有一段
即f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0
（这是一个常用结论）
请问是什么结论 (这个结论的名称和证明过程)
1
∫ ln(1+x^2)dx=ln2-2(1-4/π) 这个是怎样算的?
0
洛必达法则
Limf’(x)/g’(x)存在 Limf’(x)/g’(x)=A 所以 Limf(x)/g(x)=A
但不能简单的Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A.
这个结论.
我见有些题.Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A.可以这样用.
有些题.这样用会被说是错的.请问为什么啊?
∫ (1+x^4)/(1+x^6)dx 怎样算?
arctanx +1/3arctanx^3+c
∫ 1/sin(x+π/4)dx
ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+c

Answer 1

1：不妨设f'(0)>0,f’(1)>0.根据极限定义f'(0)=lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0)=lim x->0 f(x)/x>0,由于这里的x是（0,1）中趋于0的正数,故这里f(x)>0,这就是说在（0,1）中存在x1使得f(x1)>0.同样f'(1)=lim x->1 (f(x)-f(1))/(x-1)=lim x->1 f(x)/（x-1）>0,由于这里的x是（0,1）趋于1的数,所以(x-1)