早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2=y2-6x=12y+20=0(1)试证:不论m为何实数,直线l于圆C总相交(2)m为何值时,l被圆C截得的弦长最小?并求出这个最小值
题目详情
▼优质解答
答案和解析
(1)
2mx-y-8m-3=0
2m(x-4)-y-3=0
由题目易知,直线l过一定点P(4,-3)
将定点P(4,-3)代入圆方程左式:x^2+y^2-6x+12y+20中,得
4^2+(-3)^2-6*4+12*(-3)+20 = -15 < 0
说明定点P(4,-3)在圆C内部.
所以,不论m为何实数,直线l与圆总相交.
证毕.
2.将圆方程化为标准形式得:
(x-3)^2 + (y+6)^2 = 5^2
易知,圆心为O(3,-6),半径为r=5
要使截得的弦长最短,根据数形结合,易知,当点P(4,-3)为相交弦中点时所截得弦长最短.
因弦心距|OP| = √[(3-4)^2+(-6+3)^2] = √10
所以所截得最短弦长为 d = 2√(25-10) = 2√15
而此时弦所在的直线斜率为
k = -1/k' = -1/3
即 2m = -1/3
所以m = -1/6
综上,知,m = -1/6时,l被圆C截得弦最小,最小值为2√15
2mx-y-8m-3=0
2m(x-4)-y-3=0
由题目易知,直线l过一定点P(4,-3)
将定点P(4,-3)代入圆方程左式:x^2+y^2-6x+12y+20中,得
4^2+(-3)^2-6*4+12*(-3)+20 = -15 < 0
说明定点P(4,-3)在圆C内部.
所以,不论m为何实数,直线l与圆总相交.
证毕.
2.将圆方程化为标准形式得:
(x-3)^2 + (y+6)^2 = 5^2
易知,圆心为O(3,-6),半径为r=5
要使截得的弦长最短,根据数形结合,易知,当点P(4,-3)为相交弦中点时所截得弦长最短.
因弦心距|OP| = √[(3-4)^2+(-6+3)^2] = √10
所以所截得最短弦长为 d = 2√(25-10) = 2√15
而此时弦所在的直线斜率为
k = -1/k' = -1/3
即 2m = -1/3
所以m = -1/6
综上,知,m = -1/6时,l被圆C截得弦最小,最小值为2√15
看了已知直线l:2mx-y-8m-...的网友还看了以下:
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的 2020-05-15 …
已知圆C:(x-a)2+(y-a-1)2=9,其中a为实常数.(1)若直线l:x+y-3=0被圆C 2020-06-09 …
设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求椭圆C的方程; 2020-06-14 …
已知圆心在x轴上的圆C与直线l:4x+3y-6=0切于点M(35,65)(1)求直线12x-5y- 2020-06-15 …
(2014•山东)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 2020-06-21 …
直线X-Y+1=0被椭圆{X=4sinθ,Y=2cosθ}(θ为参数)截得的弦长为多少? 2020-06-27 …
已知点A(0,6),圆C:x2+y2+10x+10y=0.(1)求过点A且与圆C相切于原点O的圆C 2020-07-26 …
已知点P(-8,0)和圆C:x2+y2-2x+10y+4=0,(1)求经过点P被圆C截得的线段最长 2020-07-31 …
已知圆C:x^2+y^2-6y+5=0(1)求直线L:x+y=0被圆C截得的弦长(2)求经过点M(3 2020-11-01 …
急已知P(0,5)及圆C:x^2+y^2+4x-12y+24=0已知点P(0,5)及圆C:x^2+y 2021-02-20 …