已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s-t取得最小值时，f（t）所在区间是（）A.（ln2，1）B.（12，ln2）C.（13，1e）D.（1e，12）

Question

已知f（x）=e^x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s-t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）

A. （ln2，1）

B. （

(1)/(2)，ln2）

C. （

(1)/(3)，(1)/(e)）

D. （

(1)/(e)，(1)/(2)）

Answer 1

令f（t）=g（s）=a，即e^t=lns=a>0，
∴t=lns，s=e^a，
∴s-t=e^a-lna，（a>0），
令h（a）=e^a-(1)/(a)，
则h′（a）=e^a-(1)/(a)，
∵y=e^a递增，y=(1)/(a)递减，
故存在唯一a=a₀使得h′（a）=0，
0<a<a₀时，e^a<(1)/(a)，h′（a）<0，
a>a₀时，e^a>(1)/(a)，h′（a）>0，
∴h（a）_min=h（a₀），
即s-t取最小值是时，f（t）=a=a₀，
由零点存在定理验证ea0-(1)/(a0)=0的根的范围：
a₀=(1)/(2)时，ea0-(1)/(a0)<0，
a₀=ln2时，ea0-(1)/(a0)>0，
故a₀∈（(1)/(2)，ln2），
故选：B．