已知函数f（x）=ex（ex-a）-a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

Question

已知函数 f（x）=e^x（e^x-a）-a²x．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=e^x（e^x-a）-a²x，
∴f′（x）=2e^2x-ae^x-a²=（2e^x+a）（e^x-a），
①当a=0时，f′（x）>0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
②当a>0时，2e^x+a>0，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x当x>lna时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，
③当a<0时，e^x-a>0，令f′（x）=0，解得x=ln（-(a)/(2)），
当x<ln（-(a)/(2)）时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x>ln（-(a)/(2)）时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，
当a>0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当a<0时，f（x）在（-∞，ln（-(a)/(2)））上单调递减，在（ln（-(a)/(2)），+∞）上单调递增，
（2）①当a=0时，f（x）=e^2x>0恒成立，
②当a>0时，由（1）可得f（x）_min=f（lna）=-a²lna≥0，
∴lna≤0，
∴0<a≤1，
③当a<0时，由（1）可得f（x）_min=f（ln（-(a)/(2)））=(3a2)/(4)-a²ln（-(a)/(2)）≥0，
∴ln（-(a)/(2)）≤(3)/(4)，
∴-2e(3)/(4)≤a<0，
综上所述a的取值范围为[-2e(3)/(4)，1]