已知函数f（x）=（ax+3）ex（a≠0），其中e是自然对数的底数．（1）若函数图象在x=0处的切线方程为2x+y-3=0，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=12x-lnx+t，当a=-1时，存

Question

已知函数f（x）=（ax+3）e^x（a≠0），其中e是自然对数的底数．
（1）若函数图象在x=0处的切线方程为2x+y-3=0，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=(1)/(2)x-lnx+t，当a=-1时，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，求t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=（ax+3）e^x，
∴f′（x）=（ax+3+a）e^x，
又∵函数图象在x=0处的切线方程为2x+y-3=0，
∴f′（0）=（3+a）e⁰=-2；
解得，a=-5；
（2）∵f′（x）=（ax+3+a）e^x，
∴①当a>0时，解f′（x）>0得，x>-(3+a)/(a)；
故函数f（x）在（-∞，-(3+a)/(a)）上是减函数，在（-(3+a)/(a)，+∞）上是增函数；
②当a<0时，解f′（x）>0得，x<-(3+a)/(a)；
故函数f（x）在（-∞，-(3+a)/(a)）上是增函数，在（-(3+a)/(a)，+∞）上是减函数；
（3）当a=-1时，f（x）=（-x+3）e^x，
f（x）≤g（x）可化为t≥（-x+3）e^x-(1)/(2)x+lnx；
令F（x）=（-x+3）e^x-(1)/(2)x+lnx，
则F′（x）=（-x+2）e^x+(1)/(2x)（2-x）=（2-x）（e^x+(1)/(2x)）；
故F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
且当x→+∞时，F（x）→-∞；
故对任意t，都存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，
故t∈R．