已知曲线C：y=ex+a与直线y=ex+3相切，其中e为自然对数的底数．（1）求实数a的值；（2）求曲线C上的点P到直线y=x-4的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．

Question

已知曲线C：y=e^x+a 与直线y=ex+3相切，其中e为自然对数的底数．
（1）求实数a的值；
（2）求曲线C上的点P到直线y=x-4的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

（1）设切点为（x₀，y₀），
由y=e^x+a，得y′=e^x，
则y′|x=x0=ex0，
∴过切点的切线方程为y-ex0-a=ex0(x-x0)，
即y=ex0x-x0ex0+ex0+a．
又曲线C：y=e^x+a 与直线y=ex+3相切，
则

ex0=e

-x0ex0+ex0+a=3

，解得：a=3；
（2）设与直线y=x-4平行且与曲线C：y=e^x+3相切的直线与曲线的切点为（x₁，y₁），
则ex1=1，即x₁=0，
则切点坐标为（0，4），
∴曲线C上的点P到直线y=x-4的距离的最小值为(|-1×4-4|)/(√(12+(-1)2))=(8)/(√(2))=4√(2)．