已知函数f（x）=（ax+3）ex，其中e自然对数的底数．（1）求函数f（x）的单调区间（2）设函数g（x）=12x-lnx+t．当a=-1时，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立，求t的取值范围．

Question

已知函数f（x）=（ax+3）e^x，其中e自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）设函数g（x）=(1)/(2)x-lnx+t．当a=-1时，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立，求t的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=3e^x，则f（x）在R上单增，无单减区间；
当a≠0时，由f（x）=（ax+3）e^x，得f′（x）=a（x+1+(3)/(a)）e^x，
如a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜−1−(3)/(a)，由f′（x）＜0，可得x＞−1−(3)/(a)，
∴f（x）的单增区间为(−∞，−1−(3)/(a))，单减区间为(−1−(3)/(a)，+∞)；
如a＞0，由f′（x）＞0，可得x＞−1−(3)/(a)，由f′（x）＜0，可得x＜−1−(3)/(a)，
∴f（x）的单增区间为(−1−(3)/(a)，+∞)，单减区间为(−∞，−1−(3)/(a))．
（2）当a=-1时，由（1）可知f（x）在区间（0，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减，
则f(x)max＝f(2)＝e2，
由g(x)＝(1)/(2)x−lnx+t知g′（x）=(1)/(2)−(1)/(x)=(x−2)/(2x)，
易知g（x）在区间（0，2）上单减，在区间（2，+∞）上单增．
则g（x）_min=1-ln2+t，
则存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立等价于f（x）_max≥g（x）_min，
∴e²≥1-ln2+t，即t∈（-∞，e²+ln2-1]．