求证：[a,b]上可积函数f(x),|f(x)|在[a,b]上的积分=0的充要条件是f^2(x)在[a,b]上的积分=0从左边推右边好像可以用积分第一中值定理，但右边推左边不知怎么弄。。。

Question

求证：[a,b]上可积函数f(x), |f(x)|在[a,b]上的积分=0 的充要条件是 f^2(x)在[a,b]上的积分=0
从左边推右边好像可以用积分第一中值定理， 但右边推左边不知怎么弄。。。

Answer 1

可以用Lebesgue定理吗,f可积的充要条件是f在[a b]上不连续点集是零测集.用这个结论就容易了.不能用的话,我想到一个证法,就是有点麻烦：先证明若积分（从a到b）>0,则存在一个区间[c d]和一个正数e>0,使得f(x)>e,x位于[c d].这个结论用反证法证明：若对于任意的正数e和任意的区间[c d],都存在一个点t位于[c d],使得f(t)