微积分基本定理是怎样推导出来的?那个微积分基本定理:对于被积函数f(x),F'(x)=f(x),∫f(x)dx=F(b)-F(a)(积分上限为b,下限为a)这个定理是怎样推导出来的?我要全过程^-^[顺便说一下,本人正在读高二

Question

微积分基本定理是怎样推导出来的?
那个微积分基本定理:对于被积函数f(x),F'(x)=f(x),∫f(x)dx=F(b)-F(a)
(积分上限为b,下限为a)
这个定理是怎样推导出来的?我要全过程^-^
[顺便说一下,本人正在读高二,老师说这是高等数学的内容,说不要求掌握....]

Answer 1

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt
= Φ(x) + ∫f(t)dt
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|