正项数列{an}中a1=4其前n项和Sn满足Sn^2-(a(n+1)+n-1)Sn-(a(n+1)+n)=0求an与Sn

Question

正项数列{an}中a1=4 其前n项和Sn满足Sn^2-(a(n+1)+n-1)Sn-(a(n+1)+n)=0
求an与Sn

Answer 1

把所知的关系分解为(Sn+1)(Sn-a(n+1)-n)=0因为各项都是正项,所以Sn+1>0,
所以得到Sn=a(n+1)+n,从而有S(n+1)=a(n+2)+n+1两式相减,得
a(n+2)=2a(n+1)-1,各项减1,得a(n+2)=2(a(n+1)-1),即{an-1}从第二项开始,构成一个以（a2-1)=2为首项,2为公比的
等比数列,
an-1=2^(n-1)即an=2^(n-1)+1(n>=2),n=1时,a1=4,
所以得Sn=2^n+n+1