如图，△ABC内接于O，过点B作O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．

Question

如图，△ABC内接于 O，过点B作 O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．

（1）求证：∠CBE=∠A；
（2）若 O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接BO并延长交 O于点M，连接MC，
∴∠A=∠M，∠MCB=90°，
∴∠M+∠MBC=90°，
∵DE是 O的切线，
∴∠CBE+∠MBC=90°，
∴∠CBE=∠M，
∴∠CBE=∠A；

（2） 过点C作CN⊥DE于点N，
∴∠CNF=90°，
由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，
∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，
在Rt△BCM中，
∵BM=5，tanM=2，
∴BC=2√(5)，
在Rt△CNB中，
∵BC=2√(5)，tan∠CBE=2，
∴CN=4，BN=2，
∵BF=2，
∴FN=BF+BN=4，
在Rt△FNC中，
∵FN=4，CN=4，
∴CF=4√(2)．