如图椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)与经过点A（2,0）B(0,1)的直线有且仅有一个交点T且e=二分之根号三.求椭圆的方程.设F1,F2分为左右焦点,求证|AT|^2=1/2|AF1|*|AF2|

Question

如图椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)与经过点A（2,0）B(0,1)的直线有且仅有一个交点T且e=二分之根号三 .
求椭圆的方程.
设F1,F2分为左右焦点,求证|AT|^2=1/2|AF1|*|AF2|

Answer 1

（1）椭圆的长轴在x轴上.过A、B的直线方程为：x/2+y=1,…… ①
即：x=2-2y,…………②
椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,……③
②代入③得：(2-2y)^2/a^2+y^2/b^2=1,
化简得：(4*b^2+a^2)*y^2-8*b^2*y+b^2*(4-a^2)=0,…… ④
这是一个关于y的二次方程,由于椭圆与直线相切,即方程组①、②只有一个解,判别式Δ=0,即,(8*b^2)^2 - 4*(4*b^2+a^2)*b^2*(4-a^2)=0,
化简得：4*a^2*b^2*[a^2+4*b^2-4]=0,
由于a^2*b^2≠0,所以a^2+4*b^2-4=0,……⑤
又由于e=(√3)/2,e=c/a=√(a^2-b^2)/a,
所以,(√3)/2=√(a^2-b^2)/a,…… ⑥
⑤、⑥联立解得a^2=2,b^2=1/2.
所以,椭圆方程为：x^2/2+2y^2=1.
（2）把a^2、b^2的值代入④得：4*y^2-4*y+1=0,
解之,y=1/2; 代入①得,x=1.
故切点T的坐标为(1,1/2).
有椭圆方程知,c=(√6)/2.椭圆的两个焦点为F1(-(√6)/2,0)、F2( (√6)/2,0),
|AF1|=2+(√6)/2,|AF2|=2-(√6)/2,
|AF1|*|AF2|=2^2-[(√6)/2]^2=5/2.
|AT|^2=(2-1)^2+(1/2)^2=5/4,
所以 |AT|^2=1/2*|AF1|*|AF2|.