1.一个正方形内接于椭圆,并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点,则椭圆的离心率为多少?2.已知椭圆x^2/4+y^2/b^2=1与y轴交于A,B两点,点F为该椭圆的一个焦点,则△ABF面积的最大值为多少

Question

1.一个正方形内接于椭圆,并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点,则椭圆的离心率为多少?
2.已知椭圆x^2/4+y^2/b^2=1与y轴交于A,B两点,点F为该椭圆的一个焦点,则△ABF面积的最大值为多少

Answer 1

1、设椭圆方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 把x=c代入,得y=b^2/a
所以正方形边长为 2b^2/a
又正方形边长等于2c,所以2b^2/a=2c
化简得ac=b^2 ,把b^2=a^2-C^2 代入 即ac=a^2-c^2 两边同处以 ac
得 1=a/c -c/a 即 1=1/e - e .解方程即得e
2、S=2b×c×1/2=bc
而c=根下（4-b^2) (0＜b＜2）
s=b×根下（4-b^2) (0＜b＜2）
这样不好看的话两边平方
s^2= —b^4+4b^2
令g（b)= —b^4+4b^2
g'(b)=—4b^3+8b
令g'(b)=0,解得b=0或者根2或者负根2.
只有根2符合题意.
所以b=根2是 S最大
Smax = 2