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已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点1,已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1,F2,P是它左支上一点,P到左准线的距离用d表示,双曲线的一条渐近线为y=(√3)x,问是否存在
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已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点
1,已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1,F2,P是它左支上一点,P到
左准线的距离用d表示,双曲线的一条渐近线为y=(√3)x,问是否存在点P,使d,|PF1|,|PF2|
成等比数列?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由
答案;存在,P(-3a/2,±a√15/2)
1,已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1,F2,P是它左支上一点,P到
左准线的距离用d表示,双曲线的一条渐近线为y=(√3)x,问是否存在点P,使d,|PF1|,|PF2|
成等比数列?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由
答案;存在,P(-3a/2,±a√15/2)
▼优质解答
答案和解析
假设存在点P(x0,y0)满足题中条件.
∵双曲线的一条渐近线为y=根号3x,∴b/a=根号3 ,b=根号3a,∴b^2=3a^2,c^2-a^2=3a^2,c/a =2.即e=2.
由 |PF2|/|PF1|=|PF1|/d=2得,
|PF2|=2|PF1| ①
∵双曲线的两准线方程为x=±a^2/c ,
∴|PF1|=|2x0+2a^2/c|=|2x0+a|,|PF2|=|2x0-2a^2/c |=|2x0-a|.
∵点P在双曲线的左支上,∴|PF1|=-(a+ex0),|PF2|=a-ex0,代入①得:a-ex0=-2(a+ex0),∴x0=-3a/2,代入x0^2/a^2-y0^2/b^2 =1,得y0=±根号15a/2.
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列,点P的坐标是(-3a/2,±根号15a/2).
∵双曲线的一条渐近线为y=根号3x,∴b/a=根号3 ,b=根号3a,∴b^2=3a^2,c^2-a^2=3a^2,c/a =2.即e=2.
由 |PF2|/|PF1|=|PF1|/d=2得,
|PF2|=2|PF1| ①
∵双曲线的两准线方程为x=±a^2/c ,
∴|PF1|=|2x0+2a^2/c|=|2x0+a|,|PF2|=|2x0-2a^2/c |=|2x0-a|.
∵点P在双曲线的左支上,∴|PF1|=-(a+ex0),|PF2|=a-ex0,代入①得:a-ex0=-2(a+ex0),∴x0=-3a/2,代入x0^2/a^2-y0^2/b^2 =1,得y0=±根号15a/2.
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列,点P的坐标是(-3a/2,±根号15a/2).
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