（2013•松江区模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x经过点A（4，0），顶点为B．（1）求顶点B的坐标；（2）将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C，此时点A移动到点D的位置，

Question

（2013•松江区模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+2x经过点A（4，0），顶点为B．
（1）求顶点B的坐标；
（2）将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C，此时点A移动到点D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后抛物线的表达式．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+2x经过点A（4，0），
∴0=16a+8．
∴a=-(1)/(2)，
∴抛物线的表达式为y=-(1)/(2)x²+2x，
∴y=-(1)/(2)x²+2x=-(1)/(2)（x²-4x+2²-4）=-(1)/(2)（x-2）²+2．
顶点B的坐标为（2，2）；

（2）解法一：设平移后抛物线的表达式为y=-(1)/(2)x²+bx+c．
∵点B的坐标为（2，2），
∴AB=OB=2√(2)，∠BAD=∠BOC=45°．
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即平移的距离为c．
∴点D的坐标为（4-c，0）．
∴0=-(1)/(2)（4-c）²+b（4-c）+c．
又∵平移后抛物线的对称轴为x=b．
∴b=2-c．
∴0=-(1)/(2)（4-c）²+（2-c）（4-c）+c．．
解得c=2或c=0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为y=-(1)/(2)x²+2．
解法二：∵原抛物线表达式为y=-(1)/(2)x（x-4），
∴设平移后抛物线表达式为y=-(1)/(2)（x+m）（x-4+m）（m＞0，向左平移的距离）．
即y=-(1)/(2)x²-（m-2）x-(1)/(2)m²+2m．
∵B的坐标为（2，2），
∵AB=OB=2√(2)，∠BAD=∠BOC=45°，
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即m=-(1)/(2)m²+2m．解得m=2或m=0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为：y=-(1)/(2)x²+2．