已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点O，和有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点F到右准线的距离成等比数列．(Ⅰ)当的准线与右准线间的距离为15时，求及的方

Question

已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点O，和有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点F到右准线的距离成等比数列．
(Ⅰ)当的准线与右准线间的距离为15时，求及的方程；
(Ⅱ)设点F且斜率为1的直线l交于P，Q两点，交于M，N两点．当时，求|MN|的值．____

Answer 1

【分析】(1)先设C₁、C₂的标准方程，进而可得到a=2c，再求出C₁的右准线方程、C₂的准线方程，根据C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列求出a，b，c的值，得到答案．
(2)先表示出直线l的方程，然后设M、N、P、Q四点的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程进而得到两根之和、两根之积再由可求出c的值，最后联立直线和抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，同样可得到两根之和根据是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．

(Ⅰ)设C₁：(a>b>0)，其半焦距为c(c>0)．则C₂：y²=4cx．
由条件知，得a=2c．
C₁的右准线方程为，即x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知5c=15，
∴c=3，
故a=6，．
从而C₁：，C₂：y²=12x．
(Ⅱ)由题设知l：y=x-c，设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)．
由(Ⅰ)知，即3x²+4y²=12c²．
由，知x₃，x₄满足7x²-8cx-8c²=0，
从而．
由条件，得，故C₂：y²=6x．
由得，
∴x₁+x₂=9．
∴|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是每年的重头戏，一般作为压轴题出现，要想答对必须熟练掌握其基础知识，多做练习．