一个椭圆和一个双曲线共焦点,左右焦点分别为F1,F2,两曲线在第一象限内的交点为P,三角形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若PF1=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1*e2+1的取值范围

Question

一个椭圆和一个双曲线共焦点,左右焦点分别为F1,F2,两曲线在第一象限内的交点为P,三角形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若PF1=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1*e2+1的取值范围

Answer 1

设椭圆与双曲线的半焦距为c,PF1=r1,PF2=r2．
由题意知r1=10,r2=2c,
且 r1＞r2,2r2＞r1,
∴2c＜10,2c+2c＞10,
⇒5/2 ＜c＜5．⇒1＜25/c^2＜4,
∴e1=2c/2a双=2c/(r1-r2)=2c/(10-2c)=c/(5-c)； （“a双”指的是双曲线的半实轴长a）
e2=2c/2a椭=2c/(r1+r2)=2c/(10+2c)=c/(5+c) ． （“a椭”指的是椭圆的半长轴长a）
∴e1•e2=c^2/25-c^2=1/(25/c^2-1) ＞1/3 ,
∴ e1•e2+1＞4/3