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在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.①如图1,当点P运动到某位置时
题目详情
在平面直角坐标系中,抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图2,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE:OE=3:8,求k的值.

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(1)求抛物线的解析式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图2,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE:OE=3:8,求k的值.

▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=x+4经过A,C两点,
∴A点坐标是(-4,0),点C坐标是(0,4),
又∵抛物线过A,C两点,
∴
,解得:
,
∴抛物线的解析式为y=-
x2-x+4.
(2)①如图1
∵y=-
x2-x+4,
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.
∵以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,
∴PQ∥AO,PQ=AO=4.
∵P,Q都在抛物线上,
∴P,Q关于直线x=-1对称,
∴P点的横坐标是-3,
∴当x=-3时,y=-
×(-3)2-(-3)+4=
,
∴P点的坐标是(-3,
);
②过P点作PF∥OC交AC于点F,
∵PF∥OC,
∴△PEF∽△OEC,
∴
=
.
又∵
=
,OC=4,
∴PF=
,
设点F(x,x+4),
∴(-
x2-x+4)-(x+4)=
,
化简得:x2+4x+3=0,解得:x1=-1,x2=-3.
当x=-1时,y=
;当x=-3时,y=
,
即P点坐标是(-1,
)或(-3,
).
又∵点P在直线y=kx上,
∴k=-
或k=-
.
∴A点坐标是(-4,0),点C坐标是(0,4),
又∵抛物线过A,C两点,
∴
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∴抛物线的解析式为y=-
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(2)①如图1
∵y=-
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∴抛物线的对称轴是直线x=-1.
∵以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,
∴PQ∥AO,PQ=AO=4.
∵P,Q都在抛物线上,
∴P,Q关于直线x=-1对称,
∴P点的横坐标是-3,
∴当x=-3时,y=-
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∴P点的坐标是(-3,
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②过P点作PF∥OC交AC于点F,
∵PF∥OC,
∴△PEF∽△OEC,
∴
PE |
OE |
PF |
OC |
又∵
PE |
OE |
3 |
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∴PF=
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设点F(x,x+4),
∴(-
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化简得:x2+4x+3=0,解得:x1=-1,x2=-3.
当x=-1时,y=
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即P点坐标是(-1,
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又∵点P在直线y=kx上,
∴k=-
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