如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点

Question

如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．

（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？
（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=(1)/(2)（∠OBA-∠A）是否成立？为什么？
（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）MN⊥y轴
∵MN∥x轴，
又∵∠XOP=90°，
∴∠OPN=90°，
即MN⊥y轴；
（2）∵PO平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵∠MPO=∠NPO=90°
∴∠OMP=∠N．
∵∠OMP=∠A+∠APM=∠BPN，
∴∠OBA=∠BPN+∠N=∠APM+∠OMP=∠APM+（∠A+∠APM ）．
∴∠APM=(1)/(2)（∠OBA-∠A）；
（3）∠Q=(1)/(2)（∠OBA-∠OAB）
∵∠OAB=∠MAQ
∴∠AMN=∠Q+∠MAQ=∠Q+∠OAB
又∵∠AMN=∠N
∴∠N=∠Q+∠OAB
∴∠OBA=∠Q+∠N=∠Q+（∠Q+∠OAB）
即∠Q=(1)/(2)（∠OBA-∠OAB）．