求解一道卷积的题f(t)=t^2t≥0g(t)=u(t-1)t≥0求f*g不好意思忘了说了u(t-1)是单位单位阶跃函数u(t)=1t≥0=0t＜0

Question

求解一道卷积的题
f(t)=t^2 t≥0
g(t)=u(t-1) t≥0
求f*g
不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0
=0 t＜0

Answer 1

默认没给定义的地方都取0.
由卷积的定义,f*g(s) = ∫{-∞,+∞} f(t)g(s-t)dt.
当t < 0,有f(t) = 0,于是上式可化为∫{0,+∞} t²g(s-t)dt.
而当s-t < 0,有g(s-t) = 0.
于是当s ≥ 0,上式可进一步化为∫{0,s} t²g(s-t)dt = ∫{0,s} ut²(s-t-1)dt = u(s-1)s³/3-us^4/4.
而当s < 0,对任意t ≥ 0有s-t < 0,g(s-t) = 0,故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0.
因此f*g(s) = us³(s-4)/12 当s ≥ 0.
f*g(s) = 0,当s < 0.