利用艾森斯坦判断法,证明：若是P1、P2、…Pt是t个不相同的素数,那么P1P2….Pt＾1∕n是一个无理数

Answer 1

令那个数位x,则：
x^n-p1p2……pt=0
考虑整系数多项式：
f(x)=x^n-p1p2……pt
则
p1不整除1且p1整除-p1p2……pt.
下证p1^2也不整除-p1p2……pt.
反证,若p1^2整除后者,则p1整除p2p3……pt.
后者为素数连乘积,恰为一个实数的质因子分解,则p1整除其中之一,而这与p2,……pn都是素数矛盾.
因此假设不成立.
由Eisenstein判别法可知,f(x)在有理数域上不可约.因此那个数是无理数