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设f为可导函数,对于任意实数p,t有f(p+t)=f(p)+f(t)+2*p*t,且f'（0）=1,求f(x)rt
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设f为可导函数,对于任意实数p,t有f(p+t)=f(p)+f(t)+2*p*t,且f '（0）=1,求f(x)
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▼优质解答
答案和解析
令p=t=0,易得f(0)=2f(0)+0,解得f(0)=0
因f为可导函数,故f'(x)=lim [f(x+△x)-f(x)]/△x=lim [f(x)+f(△x)+2x△x-f(x)]/△x
△x->0 △x->0
=2x+lim f(△x)/△x=2x+lim [f(△x)-f(0)]/△x=2x+f'(0)=2x+1
△x->0 △x->0
故f(x)=x^2+x+C.考虑到f(0)=0,则有C=0,于是f(x)=x^2+x
因f为可导函数,故f'(x)=lim [f(x+△x)-f(x)]/△x=lim [f(x)+f(△x)+2x△x-f(x)]/△x
△x->0 △x->0
=2x+lim f(△x)/△x=2x+lim [f(△x)-f(0)]/△x=2x+f'(0)=2x+1
△x->0 △x->0
故f(x)=x^2+x+C.考虑到f(0)=0,则有C=0,于是f(x)=x^2+x
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