已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当t>0时，若f（x）在区间[-1，2]上的最大值为M（t），最小值为m（t），求M（t）-m（t）的最小值．

Question

已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当t>0时，若f（x）在区间[-1，2]上的最大值为M（t），最小值为m（t），求M（t）-m（t）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ） （1）f(x)=

x2-tx，x≥0

-x2+tx，x<0

，…（1分）
当t>0时，f（x）的单调增区间为[(t)/(2)，+∞)，(-∞，0)，单调减区间为[0，(t)/(2)]…（3分）
当t=0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）…（4分）
当t<0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），(-∞，(t)/(2)]，单调减区间为[(t)/(2)，0)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t>0时f（x）在（-∞，0）上递增，在(0，(t)/(2))上递减，在((t)/(2)，+∞)上递增
从而    当(t)/(2)≥2即t≥4时，M（t）=f（0）=0，…（7分），
m（t）=min{f（-1），f（2）}=min{-1-t，4-2t}…（8分）
所以，当4≤t≤5时，m（t）=-1-t，
故M（t）-m（t）=1+t≥5…（9分）
当t>5时，m（t）=4-2t，故M（t）-m（t）=2t-4>6…（10分）
当(t)/(2)<2≤t，即2≤t<4时，M（t）=f（0）=0，m（t）=min{f（-1），f（(t)/(2)）}=min{-1-t，-(t2)/(4)}=-1-t，…（11分）
所以，M（t）-m（t）=t+1≥3…（12分）
当0<t<2时，M（t）=f（2）=4-2t…（13分）
m（t）=min{f（-1），f（(t)/(2)）}=min{-1-t，-(t2)/(4)}=-1-t，…（11分）
所以，M（t）-m（t）=5-t>3…（14分）
综上所述，当t=2时，M（t）-m（t）取得最小值为3．…（15分）