设函数f(x,y)=(1+m/y)^x,m>0,Y>0设n是正整数,t是正实数,t满足f(n,1)=m^n*f(n,t),求证f(2010,1000√t)>7f(-2010,t)

Question

设函数f(x,y)=(1+m/y)^x,m>0,Y>0
设n是正整数,t是正实数,t满足 f(n,1)=m^n * f(n,t) ,求证 f(2010,1000√t)>7f(-2010,t)

Answer 1

f(n,1)=m^n*f(n,t)
(1+m)^n=m^n*(1+m/t)^n
1+m=m*(1+m/t)
t=m^2
f(2010,1000√t)=f(2010,1000m)=(1+1/1000)^2010
7f(-2010,t)=7f(-2010,m^2)=7(1+1/m)^-2010
即要求证((1+1/1000)*(1+1/m))^2010>7
(1+1/m)^2010>1
(1+1/1000)^2010=1^2010+2010*1/1000+2010*2009*(1/2)*(1/2010)^2
+2010*2009*2008*(1/6)*(1/2010)^3
+2010*2009*2008*2007*(1/24)*(1/2010)^4
>1+2+2+4/3+2/3=7 ……（将2010,2009等全部放小到2000）
即((1+1/1000)*(1+1/m))^2010>7
原不等式得证.