已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，点P为射线OM上的一点，连接BP、PC．将线段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D连接ED．（

Question

已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，点P为射线OM上的一点，连接BP、PC．将线段PB绕点P逆时针
旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D连接ED．
（1）如图1，当α=30°，且点P与点O重合时，∠CDM的度数是______；
（2）如图2，当α=120°，且点P与点O不重合时，∠CDM的度数是______；
（3）点P在射线OM上运动时，∠CDM的度数是

90°-(1)/(2)a

90°-(1)/(2)a

．（用含α的代数式表示）

Answer 1

（1）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BO=CO，∠COD=90°．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠Q=∠C．
∵∠Q+∠C=∠BPQ=30°，
∴∠C=15°，
∴∠C+∠CDM=90°，
∴∠CDM=75°．
故答案为：75°

（2）如图2，∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，BD=CD．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠PQC=PCQ．
在△PBD和△PCD中

PB＝PC

BD＝CD

PD＝PD

，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°，
∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=120°，
∴∠BDC=60°．
∵∠PDB=∠PDC，
∴∠PDC=30°．
即∠CDM=30°．
故答案为：30°；

（3）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，BD=CD．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠PQC=PCQ．
在△PBD和△PCD中

PB＝PC

BD＝CD

PD＝PD

，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°，
∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=a，
∴∠BDC=180°-a．
∵∠PDB=∠PDC，
∴∠PDC=90°-(1)/(2)a．
即∠CDM=90°-(1)/(2)a．
故答案为：90°-(1)/(2)a．