若过定点P(1,0)的直线l与椭圆x^2/4+y^2/2=1相交于A,B两点,则在x轴上是否存在一定点m,直线MA,MB的倾斜角互补?

Question

若过定点P(1,0)的直线l与椭圆x^2/4+y^2/2=1相交于A,B两点,则在x轴上是否存在一定点m,直线MA,MB的倾斜角
互补?

Answer 1

直线MA与MB倾斜角互补,即直线MA与MB斜率互为相反数.
1、当直线MA倾斜角=直线MB倾斜角=90°时,
存在M点与P（1,0）重合,满足题意.此时直线L方程是x=1.
2、当MA、MB斜率不为90°时,设存在这样的点M(m,0)
,直线L为y=kx-k
带入椭圆方程化简得
(1+2k^2)x^2 -(4k^2) x+2k^2 -4=0
设A(x1,y1)、B(x2, y2),则该方程两个实根为x1,x2
根据韦达定理得
x1+x2=4k^2/ (1+2k^2), x1x2=(2k^2-4)/(1+2k^2)
下面求直线MA与MB斜率之和：
Kma+Kmb
=[y1/(x1-m)]+[y2/(x2-m)]
=[y1(x2-m)+y2(x1-m)]/[(x1-m)(x2-m)]
=[2kx1x2-2k(x1+x2)+2k]/[x1x2-m(x1+x2)+m^2]
=(-6k+12)/[(2m^2 -4m+2)k^2 +(m^2-4)]
=0
所以 12-6k=0,k=2
直线L方程式y=2k-2